Замечание 1.
Заметим, что согласно определению полное
приращение  дифференцируемой функции представимо в виде двух частей.
Первая часть -  является линейной относительно приращений  . а вторая -  является бесконечно малой более высокого порядка, чем
каждое приращение  .
Замечание 2.
В отличие от функции одной переменной
для функции многих переменных нельзя дать условие, которое является одновременно
необходимым и достаточным условием дифференцируемости.
 Теорема 1. (Необходимое
условие дифференцируемости). |
Если функция  переменных дифференцируема в
некоторой точке, то она непрерывна в этой точке и имеет в ней конечные
частные производные по всем переменным. |
| Доказательство. |
Пусть функция  дифференцируема в точке  из области определения  . По определению ее полное приращение  можно представить в виде: |
 (1) |
| Из этого следует: |
1) Приращения  при всех  ,  . Это ясно из того, что  - бесконечно малая при  ,  , а поскольку  - некоторые числа, то и  при  ,  . |
2) Если положить  , то равенство (1) можно записать в виде  или  и перейти к пределу при  . Тогда  , откуда следует, что существует конечный предел  . Аналогично можно доказать существование конечных частных
производных  ,  , :.,  . |
| Следствие 1. |
Из доказательства теоремы следует, что числа  в определении дифференцируемой функции равны
значениям частных производных в точке дифференцируемости. Следовательно,
полное приращение функции  , дифференцируемой в точке  , можно представить в виде  , где  - бесконечно малая более высокого порядка, чем  при всех  . |
| Следствие 2. |
Если у функции  не существует конечная частная производная  хотя бы по одной переменной  , то в точке  функция не является
дифференцируемой. |
| Теорема 2. (Достаточное
условие дифференцируемости). |
|
Если функция  определена на множестве  и имеет в точке  непрерывные частные производные по всем переменным
 , то она в этой точке
дифференцируема. |
| Доказательство. |
|
При доказательстве ограничимся случаем функции
двух переменных. Для функции большего числа переменных доказательство
будет аналогичным.
Для функции  полное приращение в точке  имеет вид:  . Прибавим и вычтем в левой части этого соотношения
значение функции  . Тогда  можно записать в следующем виде 
 .
Применяя теорему Лагранжа к разностям функций
одной переменной, стоящих в скобках, получим
 , (2), |
где  ,  . Ясно, что при  ,  и при   .
Поскольку частные производные непрерывны, то
 ,
откуда следует, что  и  , где  и  - бесконечно малые функции при  и  . Учитывая это, соотношение (2) можно
переписать в следующем виде
 .
Заметим, что выражение  представляет собой бесконечно малую функцию при  и  , имеющую более высокий порядок, чем  и  . Если обозначить эту бесконечно малую функцию  , где  , то полное приращение функции запишется в виде:  , где  и  - вещественные числа, а  - бесконечно малая при  и  , более высокого порядка, чем  . Следовательно, функция  дифференцируема в точке  . |
|
 |
