Если функция дифференцируема в точке из ее области определения , то линейная относительно приращений часть полного приращения функции, то есть величина называется дифференциалом функции в точке и обозначается .
Учитывая замечание 1 раздела 6.2.2. ,фрмула для дифференциала в точке имеет вид:
.
Поскольку для независимых переменных , , то последнюю формулу для дифференциала в произвольной точке можно записать как
В частности, для дифференцируемой функции двух переменных формула ее дифференциала в каждой точке дифференцируемости имеет вид:
,
или
Найти значение дифференциала функции в точке , если приращения , .
По формуле полного дифференциала . Частные производные равны: , . Вычислим значения частных производных в точке : , . Подставляя эти значения, а также значения и в формулу дифференциала, получим .
Дифференциал обладает свойством инвариантности формы, то есть формула для него сохраняет свой вид, если не простые независимые переменные, а являются функциями переменных . В этом случае дифференциалы , а в свою очередь вычисляются по формулам , .
Доказательство этой теоремы легко провести самостоятельно.
Если и - функции переменных, то при вычислении дифференциалов справедливы следующие правила:
1) , где ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Эти правила удобно использовать при вычислении дифференциалов сложных функций.
Найти дифференциал функции трех переменных .
