Функции  и  заданы системой . Вычислить , ,  и .

Продифференцируем оба уравнения системы по переменной . Получим , или . Решая эту систему относительно неизвестных  и по формулам Крамера , получим

,   .

Теперь продифференцируем оба уравнения системы по переменной. Получим , или . Если решить эту систему формулам Крамера относительно производных  и , то формулы для них будут иметь вид

,  .

Из полученных формул для частных производных , ,  и  видно, что неявные функции  и  не являются дифференцируемыми в точках, в которых определитель , или . Такой определитель называется определителем Якоби.

 Если задана система , где  и  непрерывные и дифференцируемые по всем переменным в окрестности точки , являющейся решением системы, функции и если в точке  определитель Якоби , то система определяет функции  и , которые являются дифференцируемыми в точке .

Определите, при каком условии система уравнений  задает

 дифференцируемые функции  и , и вычислите ,  и .

Вычислим определитель Якоби . Поскольку  только при , то во всех точках, кроме начала координат заданная система определяет две неявные дифференцируемые функции  и .

Вычислим , дифференцируя оба уравнения системы

, или

       , .         

Решая последнюю систему относительно , получим

,

.

Вычислим полные дифференциалы в системе

, или .

Решая эту систему относительно , получим    .

Окончательно в это равенство нужно подставить выражения для дифференциалов  и .