Непрерывная функция , заданная на ограниченном и замкнутом множестве, принимает на этом множестве наибольшее и наименьшее значения.

 Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться в точках экстремума и на границе области, поэтому для их отыскания поступают следующим образом

·   Определяют критические точки функции и вычисляют в тех критических точках, которые содержатся внутри заданного множества.

·   Вычисленные значения функции сравнивают между собой и со значениями функции на границе области. Среди них находят наибольшее и наименьшее.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области, ограниченной координатными осями и прямой .

Рис.10.

Стационарные точки функции определяются из системы: . Вычитая из первого уравнения второе, получим , или . Поскольку для заданной области , то достаточно взять . Подставим это в первое уравнение. Получим , откуда  или . Соотношение  дает точки  и , лежащие на границе. Из соотношения  следует, что только одна стационарная точка  лежит внутри области (рис.10). Значение функции в этой точке .

Граница области задается уравнениями:

1.   . На этой части границы .

2.   . На этой части границы .

3.    или , . На этой части границы

Следовательно, наибольшее значение функции равно , а наименьшее .