1.14. Евклидово пространство. Нормированное пространство. Ортонормированный базис

1.14. Евклидово пространство. Нормированное пространство. Ортонормированный базис

Высшая математика > 1. Элементы линейной алгебры > 1.14. Евклидово пространство. Нормированное пространство. Ортонормированный базис

	Определение 1
	Линейное (векторное) пространство называется евклидовым, если ставится в соответствие число, которое обозначается: и называется скалярным произведением, удовлетворяющее следующим условиям:
1)	;
2)	;
3)	, ;
4)	, .

Определение 2

В линейном пространстве : , , скалярное произведение определяется по следующему правилу: .

Замечание

Из определения ясно, что все четыре свойства скалярного произведения выполняются.

Определение 3

Векторы называются ортогональными, если .

	Определение 4
	Евклидово пространство называется нормированным, если ставится в соответствие число, которое обозначается: и называется нормой вектора , удовлетворяющее следующим условиям:
1)	, ;
2)	., ;
3)	Неравенство треугольников: .

Определение 5

Линейное пространство можно нормировать, введя норму по следующему правилу: .

Теорема (Неравенство Коши - Буняковского)

Доказательство

Пусть . Так как , то и , и значит можно вычислить скалярное произведение: . Обозначив: , , , получим квадратное неравенство относительно переменной : . Из того, что , следует, что дискриминант квадратного трехчлена в левой части неравенства, а значит . Отсюда , то есть .

Теорема 2

Введенная таким образом в норма удовлетворяет всем трем условиям.

Доказательство

Первые два свойства очевидны, они следуют из свойств скалярного произведения. Докажем неравенство треугольников: (по неравенству Коши - Буняковского) . Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получим: .

Определение 6

Базис векторов в линейном нормированном пространстве называется ортонормированным, если все базисные вектора попарно ортогональны и нормы их равны единице.

Теорема 3

Векторы: , , , образуют в ортонормированный базис.