В - мерном пространстве любые  векторов - линейно зависимые.

Рассмотрим векторы: , ,  , , . Составим нулевую линейную комбинацию этих векторов: . Подставим в это равенство : . Получили векторное равенство, которому соответствует однородная СЛАУ относительно : . Так как:  (число неизвестных равно ), система имеет ненулевые решения, из чего следует, что векторы  линейно зависимы.

В линейном пространстве  базис образуют  линейно независимых векторов.

Если  - линейно независимы, то , где , будут по теореме 1 линейно зависимы. Следовательно, существует ненулевой набор чисел , такой, что:

.      

Заметим, что  заведомо отлично от нуля (ибо в противном случае из векторного равенства  вытекала бы линейная зависимость ). Но тогда, поделив равенство  на  и положив , получим из : . Отсюда, так как - произвольный вектор пространства ,  - базис по определению.

Пусть . Для того, чтобы векторы: , ,  ,  были линейно независимыми необходимо и достаточно, чтобы: .

Составим нулевую линейную комбинацию этих векторов: . Подставим в это выражение : . Получили векторное равенство, которому соответствует однородная СЛАУ относительно : . Матрица этой системы:  - квадратная, поэтому, если , система имеет только нулевое решение. Из этого следует, что векторы  - линейно независимы.

Образуют ли векторы: , ,  базис? Если да, то разложить вектор  по этому базису.

  (по теореме 3) векторы - линейно независимы. Следовательно (по теореме 2),  образуют базис. Тогда  можно разложить по этому базису, то есть представить в виде линейной комбинации базисных векторов: . Подставим в это равенство : . Получили векторное равенство, которому соответствует СЛАУ относительно : . Решим ее методом Гаусса.

. Получим: , то есть , где  - координаты вектора  в базисе векторов .