1.9. Ранг матрицы. Теорема Кронекера

1.9. Ранг матрицы. Теорема Кронекера - Капелли

Высшая математика > 1. Элементы линейной алгебры > 1.9. Ранг матрицы. Теорема Кронекера - Капелли

Определение 1

Пусть в матрице выбраны произвольно строк и столбцов (). Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка , определитель которой называется минором -ого порядка матрицы .

Пример 1

Дана матрица: . Найти в ней какой-нибудь минор второго порядка и какой-нибудь минор третьего порядка.

Решение

- минор второго порядка, - минор третьего порядка.

Определение 2

Наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы называется ее рангом. Обозначается .

Замечание 1

Если ранг матрицы равен , то из этого следует, что среди миноров -ого порядка хотя бы один отличен от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю.

	Преобразования, не меняющие ранг матрицы:
1.	перемена местами строк (столбцов);
2.	умножение (деление) строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3.	прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и тоже число;
4.	вычеркивание одной из двух пропорциональных (в частности, равных) строк (столбцов);
5.	вычеркивание нулевой строки (столбца).

Замечание 2

Обращаем Ваше внимание, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы, поэтому ранг матрицы удобно находить методом Гаусса.

Пример 2

Найти ранг матрицы: .

Решение

. Так как можно указать минор 3-го порядка, отличный от нуля: , то .

Теорема Кронекера - Капелли

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными: . Выпишем матрицу этой системы: и ее расширенную матрицу: .

1. Для того чтобы СЛАУ была совместна, необходимо и достаточно, чтобы .

2. Это решение единственно тогда и только тогда, когда .

3. Если , то СЛАУ имеет бесконечно много решений.

Прокомментируем эту теорему примерами из пункта 1.8., выписывая расширенные матрицы систем и матрицы, полученные из расширенной в результате применения метода Гаусса.

Пример 1

Решить СЛАУ: .

Решение

. Так как можно указать минор 3-го порядка, отличный от нуля: , то . А так как число неизвестных: , то . Из этого, по теореме Кронекера - Капелли, следует, что система имеет единственное решение, которое имеет вид: .

Пример 2

Решить СЛАУ: .

Решение

. Так как можно указать минор 2-го порядка, отличный от нуля: , то . Число неизвестных: , значит Из этого, по теореме Кронекера - Капелли, следует, что система имеет бесконечно много решений. Все эти решения можно записать в виде: , где - любое вещественное число.

Пример 3

Решить СЛАУ: .

Решение

. Так как в матрице, полученной из матрицы в результате применения метода Гаусса, все миноры 3-го порядка равны нулю, но есть минор 2-го порядка, отличный от нуля: , то . А в матрице, полученной из расширенной матрицы , есть минор 3-го порядка, отличный от нуля: , то . Следовательно, и система не имеет решений.