3.1.7. Параметрические и канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямых Skip Navigation LinksВысшая математика > 3. Аналитическая геометрия > 3.1. Плоскость и прямая в пространстве > 3.1.7. Параметрические и канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямых

  Параметрические уравнения прямой
Прямая линия однозначно определена, если на ней задана точка  и ненулевой вектор, параллельный этой прямой. В дальнейшем такой вектор будем называть направляющим вектором. Если  - направляющий вектор, то для любой точки , принадлежащей прямой справедливо: . Из определения коллинеарных векторов следует соотношение . Так как вектор , то последнее равенство равносильно системе
,    или .
Полученные три уравнения называются параметрическими уравнениями прямой, а  - параметром.
  Канонические уравнения прямой
Если использовать условие коллинеарности векторов, выраженное через их координаты, то получим уравнения, которые называются каноническими уравнениями прямой:
.
  Задача 1

Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точки  и .

  Решение

Вектор  параллелен прямой, следовательно, мы можем выбрать его в качестве направляющего вектора. Подставляя в канонические уравнения прямой координаты любой из заданных точек, например , получим систему канонических уравнений прямой

.

Следует заметить, что канонические и параметрические уравнения прямой выглядят различно, в зависимости от того, координаты какой точки в них подставлены вместо чисел ,  и . Кроме того, в данной задаче одна из координат направляющего вектора равна нулю, а это означает, что один из знаменателей в канонических уравнениях равен нулю. Такая запись для канонических уравнений прямой считается вполне допустимой. Чтобы понять, как в данном случае расположена в пространстве прямая, перейдем к параметрическим уравнениям. Для этого каждое из трех равных отношений обозначим через  и получим
, или . Из последних уравнений ясно, что заданная прямая лежит в плоскости .

  Задача 2

Составьте параметрические уравнения медианы, проведенной из вершины  в треугольнике , если заданы координаты его вершин ,  и .

  Решение

На медиане  задана точка  (рис.8). Направляющим вектором для нее может являться вектор  (рис. 8). Вычислим координаты векторов  и , а также вектора . Подставим в параметрические уравнения прямой  вместо  координаты вектора , а вместо  - координаты точки . Получим .

  Ответ: 

, , .

Рис. 8
  Угол между прямыми
Пусть  и  - направляющие векторы двух прямых. Угол  между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Для косинуса этого угла справедлива формула:
.
  Условие перпендикулярности прямых
 или .
  Условие параллельности прямых
 или .
  Условия пересечения прямых в пространстве
 Если  и  - направляющие векторы двух прямых, а  и  - точки на этих прямых, то прямые пересекаются или скрещиваются в зависимости от того, компланарны или нет векторы и (рис.9).
Прямые скрещиваются, если смешанное произведение  (рис.9 a).
Прямые пересекаются, если смешанное произведение  (рис.9 b).
Рис. 9 a
    
Рис. 9 b
  Задача 3

При каком значении  прямые  и   пересекаются?

  Решение

Для первой прямой: направляющий вектор  и точка . Для второй прямой: направляющий вектор  и точка . Вычислим координаты вектора  и учтем, что прямые пересекаются, если смешанное произведение векторов  и  равно нулю.

=.

Поскольку , то .

  Ответ: 

.

  Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду
Пусть прямая задана общими уравнениями .
Рис. 10
Если нужно привести ее уравнения к каноническим или параметрическим, то следует выбрать на этой прямой какую-то точку и найти вектор, параллельный ей. Координатами точки, принадлежащей прямой, является любое из решений заданной линейной системы. Направляющим вектором прямой является вектор , где  и  - нормальные векторы плоскостей, задающих прямую (рис. 10).
  Задача 4

Приведите уравнения прямой  к каноническому виду.

  Решение

Выберем на прямой точку с аппликатой . Подставим  в общие уравнения прямой и найдем остальные координаты точки из системы. . Складывая уравнения системы, получим , или . Подставляя это в любое уравнение, найдем , Итак, точка  принадлежит прямой. Нормальные векторы плоскостей, задающих прямую:  и . Тогда направляющий вектор прямой равен их векторному произведению

.

Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид .

  Ответ: 

.
 
Hosted by uCoz