Если функция  дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Из определения функции, дифференцируемой в точке , следует, что ее приращение в этой точке можно представить в виде:

.

Переходя в этом равенстве к пределу при  и учитывая, что  - конечное число, а  - бесконечно малая при  функция, получим

.

Следовательно, при бесконечно малом приращении , приращение функции  тоже является бесконечно малым, т.е. функция  непрерывна в точке .

Обратное утверждение неверно. Непрерывная в точке  функция может не быть в этой точке дифференцируемой. Это можно показать на следующих примерах.

Функция  (рис.2) определена и непрерывна на всей числовой оси. Однако в точке  она не является дифференцируемой, так как ее производная  в этой точке бесконечна. Касательная к графику функции в точке  перпендикулярна оси .

Функция  (рис.3) определена и непрерывна на всей числовой оси, а в точке  она не является дифференцируемой, так как ее производная  в этой точке не существует. Действительно,  .

То, что функция  не дифференцируема в точке  легко видеть из ее графика. При  касательной к графику является прямая , а при  касательной является прямая . При переходе через точку  касательная не меняется непрерывно.

Рис. 2

Рис. 3

Функция  дифференцируема справа и слева, так как существуют и конечны односторонние производные. При этом производная справа равна , а производная слева равна .

Следует заметить, что функция  не является дифференцируемой ни справа, ни слева, поскольку ее односторонние производные в точке  бесконечны.