5.1.2.7. Дифференциалы высших порядков

5.1.2.7. Дифференциалы высших порядков

Высшая математика > 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной > 5.1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной > 5.1.2. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков > 5.1.2.7. Дифференциалы высших порядков

Определение

Пусть функция дважды дифференцируема в точке . Дифференциалом второго порядка от функции или вторым дифференциалом в точке называется дифференциал от ее первого дифференциала . Второй дифференциал обозначается .

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка , четвертого порядка , и так далее.

Теорема
Если функция дважды дифференцируема и - независимая переменная, то формула для второго дифференциала имеет вид:
.
Доказательство
По определению второго дифференциала . Используя формулу для первого дифференциала , получим . Так как для независимой переменной дифференциал равен приращению и не зависит от переменной , то . Тогда .
Следствие
Если - независимая переменная, то формула для дифференциала - го порядка имеет вид: .

Пример 1

Найти дифференциал второго порядка для функции .

Решение

Формула для второго дифференциала имеет вид:

Вычислим первую производную: . Затем вычислим вторую производную:

Проведем в полученном выражении все упрощения. Получим

Подставив, найденную формулу для второй производной в формулу дифференциала, окончательно запишем второй дифференциал в виде:

Пример 2
Найти формулу для дифференциала - го порядка функции .
Решение
При решении используем формулу для дифференциала - го порядка . Вычислим производные: , , , , , и так далее. Заметим, что , при . Тогда .
Замечание
Дифференциалы второго и более высокого порядков не обладают свойством инвариантности, то есть их формула меняется, если не является независимой переменной. Для независимой переменной формула второго дифференциала имеет вид: . Если не является независимой переменной, то . Тогда .