5.2.2.2. Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба

5.2.2.2. Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба

Высшая математика > 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной > 5.2. Исследование функций > 5.2.2. Исследование функций и построение графиков > 5.2.2.2. Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба

Определение 1

Функция называется выпуклой вниз (выпуклой) на промежутке , если ее график лежит выше касательной, проведенной в любой точке (рис.17 a).

Определение 2

Функция называется выпуклой вверх (вогнутой) на промежутке , если ее график лежит ниже касательной, проведенной в любой точке (рис.17 b).

Рис. 17 a Рис. 17 b

Теорема 1

Если функция дважды дифференцируема на промежутке и вторая производная для всех значений , то выпукла вниз на промежутке .

Доказательство

1) Возьмем произвольную точку . Уравнение касательной к графику функции в этой точке имеет вид:

Покажем, что в любой точке график функции расположен выше этой касательной.

Рассмотрим любую точку , удовлетворяющую условию , и вычислим разность ординат функции и касательной в этой точке:

Поскольку функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке , то найдется точка , для которой справедливо равенство

Учитывая это, разность ординат функции и касательной в точке можно представить в виде

Производная удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке . Значит, найдется точка , для которой справедливо равенство

Учитывая это, разность ординат функции и касательной в точке можно записать в виде

Так как при всех , а (рис.18), то , и . Следовательно, и график функции в точке расположен выше касательной.

Рис. 18

2) Рассмотрим любую точку , удовлетворяющую условию , и вычислим разность ординат функции и касательной в этой точке:

Учитывая это, разность ординат функции и касательной в точке можно записать в виде

Так как при всех , а (рис. 19), то , и . Следовательно, . Тогда график функции в точке также расположен выше касательной.

Рис. 19.

Теорема 2

Если функция дважды дифференцируема на промежутке и вторая производная для всех , то на промежутке выпукла вверх.

Доказательство

аналогично доказательству теоремы 1.

Определение 3

Точки, в которых меняется характер выпуклости функции, называются точками перегиба.

Теорема 3

Если и меняет знак при переходе через точку , то функция имеет в точке перегиб.

Замечание

Вторая производная может менять знак и в точке разрыва. Поэтому точками перегиба являются точки, в которых вторая производная обращается в ноль или в бесконечность (имеет разрыв) и меняет знак.

	Чтобы найти точки перегиба графика функции нужно:
-	вычислить вторую производную заданной функции;
-	найти все точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует;
-	нанести эти точки, а также точки разрыва функции на числовую ось;
-	определить знак второй производной на каждом из полученных интервалов;
-	по знаку второй производной определить характер выпуклости функции;
-	точками перегиба будут те точки, в которых меняется характер выпуклости функции, исключая точки разрыва.

Пример 1

Определите точки перегиба графика функции .

Решение

Первая производная заданной функции равна . Исследуя первую производную легко убедиться, что функция имеет минимум в точке .

Теперь вычислим вторую производную

и исследуем ее. Вторая производная меняет знак в точках . По знаку второй производной можно выяснить характер выпуклости функции (рис. 20).

Рис. 20

Из рисунка видно, что функция имеет две точки перегиба . На рисунке 20 показан график заданной функции.

Пример 2

Исследуйте характер выпуклости графика функции и найдите точки перегиба.

Решение

Поскольку первая производная функции всюду положительна, то функция возрастает при всех значениях .

Рис. 21.

Вычислим вторую производную . Вторая производная не существует при и меняет знак в этой точке (рис.21). Поскольку функция определена на всей числовой оси, то - точка перегиба. График функции показан на рисунке 21.