6.1.3. Функции n переменных. Предел и непрерывность функций n переменных

Определение 1.

Функцией переменных называется отображение некоторого множества во множество вещественных чисел . Иначе говоря, функция - это правило, по которому ставится в соответствие вещественное число . Это правило (соответствие) обозначают: или .

Множество называется областью определения функции, а множество - областью значений функции .

Замечание. Если

, то

- функция двух переменных. Чаще для функции двух переменных используют обозначение

В трехмерном евклидовом пространстве с введенной декартовой системой координат функция

задает некоторую поверхность. Например, функция

задает параболоид вращения (рис.5).

Определение 2.

Пусть на множестве задана функция и пусть - предельная точка множества . Число называют пределом функции в точке , и записывают или , если для любой - окрестности точки - найдется - , для которой справедливо: если точка , то значение функции в этой точке .проколотая - окрестность точки

Замечание 1. Учитывая определение окрестностей в пространстве

, определение предела для функции нескольких переменных можно записать в следующем виде:
Пусть функция

задана на множестве

- предельная точка

, если

Пример 2.

Задана функция двух переменных при и . Покажем, пользуясь определением, что . В самом деле, поскольку , то для произвольного можно выбрать . Тогда для любой точки выполняется , откуда следует, что .

Замечание 2. Все теоремы о пределах для функции одной переменной справедливы и для функций многих переменных.

Замечание 3. Из определения предела и замечания 1 следует, что для того, чтобы функция

имела предел в точке

, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности точек

, имеющей пределом точку

существовал предел

и был одинаковым для всех последовательностей

Пример 3.

Функция не имеет предела в точке - начале координат. Если задать последовательности точек, стремящихся к началу координат по прямым , то .

Если же рассмотреть последовательность точек, сходящуюся к началу координат по параболе , то .

Пример 4.

Пусть задана функция . Предел этой функции в начале координат равен . Это следует из того, что в этом случае можно сделать замену переменных и и перейти к пределу функции одной переменной .

Определение 3.

Функция , определенная на множестве , называется непрерывной в точке , если в этой точке существует конечный предел, равный значению функции в этой точке, то есть .

Определение 4.

Пусть на множестве задана функция и пусть , Пусть числа таковы, что точка . Полным приращением функции в точке называется число .

Теорема.

Для того чтобы функция , заданная на множестве , была непрерывна в точке необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство.

Из того, что функция непрерывна в точке следует, что существует конечный . Тогда . Если координаты точки представить в виде , то ясно, что . Так как , то . Следовательно, .

Определение 5.

Функция , заданная на множестве и непрерывная в каждой точке , называется непрерывной на множестве .

Определение 6.

Точка, в которой не выполнено условие непрерывности, называется точкой разрыва функции.

Замечание. Множества точек разрыва функции нескольких переменных может иметь самую разнообразную структуру. В частности, они могут образовывать линии разрыва и поверхности разрыва.

Пример 5.

- Прямая является линией разрыва для функции .

- Коническая поверхность является поверхностью разрыва для функции .

Для непрерывных функций

переменных справедливы следующие теоремы.

Теорема 1.

Функция , непрерывная на замкнутом и ограниченном множестве , ограничена на этом множестве и достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Теорема 2.

Пусть функция непрерывна в замкнутом и ограниченном множестве и пусть для всех точек . Если для числа справедливо неравенство , то существует точка , такая, что .