 Теорема 1. |
|
Пусть на множестве  задана дифференцируемая по переменным  функция  и функции  ,  ,..:,  в свою очередь являются дифференцируемыми
функциями  независимых переменных  . Тогда функция  является сложной дифференцируемой функцией
независимых переменных  и частные производные от функции  по этим переменным равны:
 , где  . | |
| Доказательство. |
|
Из дифференцируемости функции  следует, что  , где  . Тогда  .
В последнем равенстве перейдем к пределу при  . Получим  .
Из дифференцируемости функций  по переменным  следует существование конечных пределов  , а также непрерывность функций  . Из непрерывности функций  следует, что  при  для всех  . При этом из дифференцируемости функций  следует также, что  является бесконечно малой более высокого порядка,
чем  и, значит,  . Следовательно,  , при всех  . Теорема
доказана. |
В частном случае, для сложной функции двух переменных  , где  и  , частные производные по независимым переменным  и  вычисляются по формулам
 ,
 . |
 Пример 1. |
|
Задана сложная функция  , где  ,  ,  . Вычислить частные производные  и  . |
 Решение. |
|
 .
 ,  ,  .
 ,  ,  .
Из этих соотношений следует, что
 .
Далее  .
 ,  ,  .
Поэтому  . |
| Следствие 1. |
Если на множестве  задана дифференцируемая по переменным  функция  и если функции  ,  ,..:, - дифференцируемые функции независимой
переменной  , то функция  является сложной дифференцируемой функцией одной
переменной  и ее полная производная по независимой
переменной  равна: |
 . |
| Замечание. |
Иногда функция  явно зависит от переменной  , то есть  . В этом случае формула для полной
производной имеет вид: |
 . |
Здесь следует различать частную производную  , которая вычисляется в предположении, что  ,  ,:, не зависят от переменной  , и полную производную  , которая учитывает и зависимость от  функций  ,  ,:, . |
|
 |
