Если функция  дифференцируема в точке  и имеет в этой точке экстремум (максимум или минимум), то .

Если рассмотреть функцию одной переменной , то она имеет экстремум в точке . По необходимому условию экстремума для функции одной переменной . Аналогично доказывается, что .

Доказанная теорема называется необходимым условием экстремума функции двух переменных. Условие равенства нулю частных производных в некоторой точке не является достаточным условием существования экстремума в этой точке.

Если хотя бы одна из частных производных  или , то в точке  нет экстремума. 

Значит, экстремум следует искать в тех точках, где обе частные производные равны нулю. Так же как и для функции одной переменной экстремум может быть и в точках, где функция не является дифференцируемой. Такие точки в дальнейшем будем называть подозрительными на экстремум или критическими. Среди критических точек особо выделяются стационарные точки.

Если  - стационарная точка дважды дифференцируемой функции  и если в некоторой окрестности этой точки  сохраняет знак, то функция в точке  имеет экстремум. При этом если , то этот экстремум минимум. Если , то это максимум.

Представим функцию  в точке  формулой Тейлора до членов второго порядка: . С точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем , учитывая, что в стационарной точке , формулу Тейлора можно записать в виде

.

Из последнего соотношения ясно, что если , то в некоторой окрестности  выполняется неравенство , что соответствует определению минимума. Если же , то в некоторой окрестности  имеем неравенство , из которого следует, что в точке  максимум.

Если  меняет знак в окрестности точки , то это еще не означает, что в этой точке нет экстремума.

Функция  имеет в точке  минимум. Это следует из того, что  и единственная стационарная точка . Частные производные второго порядка , , ; , , . Тогда .

Если  - стационарная точка дважды дифференцируемой функции  и если , , , то функция имеет экстремум, если  и не имеет экстремума, если . При этом экстремум - максимум, если  и минимум, если .

В теореме 2 доказаны достаточные условия экстремума: если , то в точке  минимум; если , то в точке  максимум.

Рассмотрим второй дифференциал в точке :

, или

.

Вынесем  за скобку и обозначим . Тогда

.

Чтобы выражение  было определенного знака, дискриминант  квадратного трехчлена  должен быть меньше или равен нулю. . Следовательно, при , или при  есть экстремум. При  нет экстремума, при  экстремум может быть, а может и не быть. Этот случай требует дополнительных исследований.

Если , то при  квадратный трехчлен  и экстремум является минимумом; при  квадратный трехчлен  и экстремум является максимумом.

Исследовать на экстремум функцию .

, , , , . Системе удовлетворяют две стационарные точки  и .

Вычислим частные производные второго порядка , , . Для первой стационарной точки : . Дискриминант . Значит, в этой точке нет экстремума. Для точки : , . Дискриминант , а так как , то это точка минимума.