7.2.2. Основные свойства определенного интеграла

7.2.2. Основные свойства определенного интеграла

Высшая математика > 7. Интегральное исчисление функций одной переменной > 7.2. Определенный интеграл > 7.2.2. Основные свойства определенного интеграла

Основные свойства определенного интеграла

1⁰.

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

=

, если эти интегралы существуют.

Действительно, ==

=.

2⁰.

Определенный интеграл от суммы нескольких функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е.

если

и

- интегрируемые на

функции.

Так как

.

3⁰.

Если на отрезке

, где

, интегрируемые функции

и

удовлетворяют условию

, то

.

Доказательство.

Рассмотрим разность

.

Так как , то, по геометрическому смыслу определенного интеграла, .

4⁰.

Если

и

- наименьшее и наибольшее значения интегрируемой функции

на отрезке

и

, то

.

Доказательство.

По условию , тогда . Но .

Аналогично, .

Если , то (рис. 3).

Рис. 3

5⁰.

Теорема о среднем. Если

- непрерывна на отрезке

, то существует точка

такая, что справедливо равенство

.

Доказательство.

Пусть для определенности и . Тогда

, обозначим , тогда .

Так как - непрерывна, то она принимает все значения, заключенные между и . Следовательно, , такое, что , т.е. .

Отсюда , где .

6⁰.

Из определения определенного интеграла

.

7⁰.

Для любых трех чисел

справедливо равенство

, если только все три интеграла существуют.

Доказательство.

Разобьем на части так, чтобы точка была точкой деления. Затем разобьем интегральную сумму , соответствующую отрезку , на две суммы: - сумму, соответствующую и - сумму, соответствующую . Тогда

.

Переходя к пределу при , получим

.

Если же, например, , то на основании доказанного . По свойству 6⁰ получим

.

Аналогично доказывается при другом расположении точек .