2.9. Задачи, решаемые с помощью векторного произведения

2.9. Задачи, решаемые с помощью векторного произведения

Высшая математика > 2. Векторная алгебра > 2.9. Задачи, решаемые с помощью векторного произведения

1. Вычисление площадей параллелограмма и треугольника, построенных на двух векторах.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах

равна

, а площадь треугольника

. Из условия 2 пункта 2.8 следует

Пример 1.
Вычислить площадь треугольника , если , , .
Решение.
Треугольник АВС образован векторами и . . .
Ответ.
.

2. Вычисление момента сил.

Если вектор силы

приложен к точке

и требуется найти момент этой силы относительно точки О, то момент силы

равен

(рис. 14).

Рис. 14

Пример 2.
Вычислить момент силы , приложенной к точке относительно точки .
Решение.
, =.
Ответ.
.

3. Определение вектора, ортогонального двум данным

Иногда требуется найти вектор, ортогональный двум данным. Из условия 1 пункта 2.8 следует, что искомый вектор коллинеарен векторному произведению заданных векторов (рис. 15).

Рис. 15

Пример 3.
Найти вектор , ортогональный векторам, и , для которого , где .
Решение.
Вектор коллинеарен векторному произведению , следовательно =. Поскольку , то =. Так как , то , или . Теперь можно определить координаты вектора : .
Ответ.
.