Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку  и перпендикулярной прямой, заданной уравнениями .

Из рисунка 12 видно, что направляющий вектор прямой  перпендикулярен плоскости, и его можно взять в качестве ее нормального вектора.

Рис. 12

Подставляя в уравнение плоскости с нормальным вектором  координаты точки  и координаты вектора , получим

, или .

.

Найдите точку, симметричную точке  относительно прямой, заданной каноническими уравнениями

.

Точка , симметричная точке  относительно заданной прямой , лежит на прямой , перпендикулярной прямой . При этом точка пересечения прямых  делит отрезок  пополам (рис.13).

Если провести через точку  плоскость , перпендикулярную прямой , то прямая  будет лежать в этой плоскости. Для плоскости  нормальным вектором является направляющий вектор прямой , то есть вектор. Используя у равнение плоскости с нормальным вектором, получим: , .

Рис. 13

Запишем уравнения прямой  в параметрическом виде . Точка  - точка пересечения прямой  и плоскости . Ее координаты найдем из системы .

Подставляя x, y и z  из первых трех уравнений в четвертое, получим , или , откуда .

Координаты точки  можно найти, подставляя это значение  в первые три уравнения системы, тогда точка . Определим координаты вектора . Вектор , поэтому . Координаты точки  найдем, прибавляя к координатам точки  координаты вектора . Получим .

.