4.8. Свойства б.м. и б.б. функций

4.8. Свойства б.м. и б.б. функций

Высшая математика > 4. Теория пределов > 4.8. Свойства б.м. и б.б. функций

Теорема 1.

Если б.м. в точке , то - б.б. в точке и если б.б. в точке , то - б.м. в точке .

Доказательство.

Пусть б.м. в точке . Обозначим и - область определения функции . Возьмём - сколь угодно большое число, тогда - сколь угодно малое число. Так как б.м. в точке , то для

Итак, , т. е. - б.б. в точке . Аналогично доказывается и второе утверждение теоремы.

Теорема 2.

Произведение функции, б.м. в точке , на ограниченную функцию в окрестности точки есть б.м. функция в той же точке.

Доказательство.

Пусть - б.м. в точке , а - ограниченная в , т.е. для всех значений . Обозначим . Пусть - область определения для функций и . Возьмём и найдём . Так как б.м. в точке , то по найдём . Тогда для справедливо неравенство:

б.м. в точке .

Пример.
, т. к. - ограниченная для всех , а - б.м. в точке .

	Следствия:
1).	Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть б.м. в той же точке. Действительно б.м. функция является ограниченной, т. к. имеет конечный предел.
2).	Произведение конечного числа бесконечно больших функций есть б.б. в той же точке. Действительно, если - б.б., то
	,
	откуда следует, что функции представляет собой , то есть б.б.

Теорема 3.

Сумма конечного числа функций, б.м. в точке , является б.м. функцией в той же точке.

Доказательство.

Пусть - б.м. в точке . Тогда возьмём любое сколь угодно малое , для которого

и .

Тогда

Таким образом, - б.м. в точке .

Сформулируем еще два свойства для бесконечно больших функций:
Сумма конечного числа функций, б. б. в одной точке, и имеющих одинаковый знак, является б.б. того же знака в той же точке.
Сумма функции, б.б. в точке , и ограниченной функцию в окрестности точке есть б.б. функция в той же точке.