6.4. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных

6.4. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных

Высшая математика > 6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных > 6.4. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных

Пусть функция имеет частные производные в точке из ее области определения . Будем называть их частными производными первого порядка. Так как они являются функциями тех же переменных, что и данная функция, то у каждой из них могут существовать частные производные по любому из этих аргументов.
Полученные таким образом частные производные называются частными производными второго порядка.
В частности для функции двух переменных можно составить четыре частных производных второго порядка, которые обозначаются следующим образом:
; ; ; .
Вообще для каждой из этих частных производных второго порядка можно дать и строгое определение.

Определение 1.

Если существует и конечен , то он называется частной производной второго порядка от по дважды в точке и обозначается или .

Аналогично даются строгие определения для остальных частных производных второго порядка.

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка, и.т.д.

Для функции частная производная пятого порядка , если она существует, определяется как функция, полученная из данной путем двукратного дифференцирования по переменным и , и однократного дифференцирования по . Порядок дифференцирования при этом не имеет значения, так как имеет место теорема, которая в данном курсе приводится без доказательства.

Теорема 1.

Если функция имеет как в точке , так и в некоторой ее окрестности частную производную второго порядка , причем она непрерывна в точке , то в этой точке существует и частная производная , совпадающая с .

Обобщая теорему на производные более высокого порядка, можно сделать вывод, что при соблюдении указанных условий результат частного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Пример 1.

Вычислить все частные производные второго порядка для функции .

Решение.

Учитывая результат теоремы, можно установить, что существует шесть различных частных производных второго порядка для данной функции.

Частные производные первого порядка:

; ; .

Частные производные второго порядка:

; ; ; ; ; .

Определение 2.
Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда в этой точке существует дифференциал . Будем в дальнейшем называть его дифференциалом первого порядка или первым дифференциалом. Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом функции в точке называется дифференциал от ее первого дифференциала , который обозначается .

Теорема 2.

Если задана дифференцируемая функция и - независимые переменные, то имеет место формула

Доказательство.

Так как - независимые переменные, то - тоже независимые переменные. Поэтому

. Поскольку , то

В частности, для функции двух переменных , учитывая независимость частных производных от порядка дифференцирования, справедливо:

.
Аналогично определяются дифференциалы более высокого порядка. Дифференциал третьего порядка или третий дифференциал - это дифференциал от второго дифференциала.
Легко показать, что для функции двух переменных формула для третьего дифференциала имеет вид:

.

Формулы для второго дифференциала функции двух переменных удобно записывать в символическом виде:

,
где под записью понимается операция взятия частной производной по , а под записью понимается операция взятия частной производной по .
В общем случае для дифференциала - го порядка функции двух переменных справедлива формула:

.

Замечание 1.

Следует помнить, что эти формулы записаны в предположении, что и - независимые переменные. Если же является сложной функцией, в которой и в свою очередь являются функциями двух переменных, то

Замечание 2.
Сравнивая формулы для дифференциала второго порядка в случае, когда что и - независимые переменные, и когда они в свою очередь являются функциями двух переменных, можно сделать вывод, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности.

Замечание 3.
При вычислении дифференциалов высших порядков иногда удобно не пользоваться полученными формулами, а вычислять дифференциалы, проводя непосредственное дифференцирование, учитывая, что и при , если - независимая переменная.

Пример 2.

Вычислите , если .

Решение.

В разделе 6.3.1 был вычислен . Тогда

. Упрощая полученное выражение, запишем