7.2.7. Геометрические приложения определенного интеграла

7.2.7. Геометрические приложения определенного интеграла

Высшая математика > 7. Интегральное исчисление функций одной переменной > 7.2. Определенный интеграл > 7.2.7. Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей

Если

на

, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой

, осью

и прямыми

(рис. 6), равна:

Рис. 6

Если

на

, то определенный интеграл

и по абсолютной величине равен площади криволинейной трапеции

(рис. 7), т.е.

Рис. 7

Если

конечное число раз меняет свой знак на отрезке

, то интеграл по всему отрезку

разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам (рис. 8), или

Рис. 8

Пример.

, (рис. 9).

Рис. 9.

, или .

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме (рис.10):

, где

Рис. 10

Тогда площадь криволинейной трапеции будет определяться, как :

Площадь сектора в полярных координатах

Пусть кривая задана уравнением: , где .

Рис. 10

Разобьем площадь криволинейного сектора на

частей лучами:

(рис. 11). В каждом частном угле

возьмем луч

и найдем

. Тогда площадь криволинейного сектора будет равна

. Следовательно, площадь всего «ступенчатого» сектора будет равна

. Получили интегральную сумму

. При переходе к пределу при

, получим, что

. По определению определенного интеграла площадь сектора равна

Пример.

- лемниската Бернулли (рис. 12).

Рис. 12

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

Пусть - некоторое тело, расположенное вдоль оси . Предположим, что для любого известна - площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной оси (рис. 13).

Рис. 13.

Предположим, что есть непрерывная функция от . Проведем плоскости . Эти плоскости разобьют тело на слоев.

В каждом частичном промежутке возьмем произвольную точку и построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси , а направляющая представляет собой контур сечения тела плоскостью .

Объем такого цилиндра равен , где -площадь основания цилиндра, - его высота. Сумма объемов всех цилиндров равна .

Т.к. представляет собой интегральную сумму для непрерывной функции на отрезке , то можно доказать, что существует ее предел, который по определению является определенным интегралом.

Объем тела вращения

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси кривой , непрерывной на , и ограниченное плоскостями и - тело вращения (рис. 14).

Рис. 14

В этом случае произвольное сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси , есть круг, площадь которого: . Тогда объем тела вращения равен

Длина дуги в декартовых координатах

Определение.

Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает непрерывно, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю.

Рис. 15.

То есть, если длина ломаной равна , то длина дуги (рис. 15) равна .

Теорема.

Если непрерывна на и имеет непрерывную производную на , то существует .

Доказательство.

Пусть - приращение данной функции на отрезке . По теореме Пифагора имеем

Применяя теорему Лагранжа о среднем, получим где . Тогда

Т.о. длина вписанной ломаной равна . Т.к. - непрерывна, то -представляет собой интегральную сумму для непрерывной функции . Следовательно, предел этой интегральной суммы существует и, по определению, равен

Замечания

а)

Если верхний предел интегрирования считать переменным и обозначить через , то длина дуги будет функцией от : Тогда или

Получили формулу для дифференциала дуги .