.

В числителе дроби под знаком предела можно вынести за скобку, а затем и за знак предела множитель , который не зависит от переменной . Тогда для производной получим выражение

.

Поскольку функция  является бесконечно малой при , то по таблице эквивалентных бесконечно малых справедливо

.

Заменяя под знаком предела бесконечно малую  на эквивалентную ей бесконечно малую , получим

.

В числителе дроби под знаком предела можно вынести за скобку, а затем и за знак предела множитель , который не зависит от переменной . Тогда для производной получим выражение

.

По таблице эквивалентных бесконечно малых .

Заменяя под знаком предела бесконечно малую функцию  на эквивалентную ей бесконечно малую , получим

.

Для показательной функции с любым основанием  и  производная вычисляется по правилу:

,   

Поскольку по основному логарифмическому тождеству , то . Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

Для функции  определена обратная функция . Используя правило дифференцирования обратной функции, получим

.

Правило дифференцирования логарифмической функции с произвольным основанием  и , можно вывести, используя свойства логарифма . Тогда

.

.

По определению производной . Представив приращение функции  по формуле преобразования разности синусов в произведение в виде , получим следующее выражение для производной

.

Используя таблицу эквивалентных бесконечно малых функций, по которой , заменим под знаком предела бесконечно малую  на бесконечно малую .

.

Из непрерывности функции  следует, что . Значит,

.

Чтобы доказать, что , представим  по формуле приведения, а затем вычислим производную полученной функции, используя правило дифференцирования сложной функции.

.

Теперь вычислим производную для функции . Поскольку , то можно использовать правило дифференцирования частного двух функций.

.

Используя основное тригонометрическое тождество , получим

 .

Выражение для производной функции  можно получить, используя основное тригонометрическое тождество  и выразив из него функцию  по формуле . Теперь можно использовать правило дифференцирования сложной функции.

.

Функция  определена на промежутке  и ее значения принадлежат промежутку . Обратная функция  определена на промежутке . По правилу дифференцирования обратной функции, вычислим производную для функции .

.

Функцию  можно выразить через функцию  из основного тригонометрического тождества .

.

Поскольку , что соответствует первой и четвертой четвертям тригонометрического круга, то . Следовательно, , где . Тогда для производной для функции  справедливо равенство:

.

Для вычисления производной от функции  используем соотношение  и выразим из него . Долее можно использовать правило дифференцирования разности двух функций.

.

Функция  задана на промежутке  и ее значения принадлежат промежутку . На промежутке  определена обратная функция . Для вычисления ее производной можно использовать правило дифференцирования обратной функции.

.

Из основного тригонометрического тождества  следует, что . Следовательно,

.

Для вычисления производной от функции  используем соотношение  и выразим из него . Долее можно использовать правило дифференцирования разности двух функций.

.

.

.

, так как .

.