Если функция  - дифференцируема в точке , то существует не параллельная оси  касательная плоскость к поверхности  в точке , уравнение которой имеет вид

,

где .

 Напомним, что функция двух переменных  задает в пространстве с введенной декартовой системой координат некоторую поверхность.

Уравнение плоскости, проходящей через точку , имеет вид: . Если , то можно разрешить это уравнение относительно переменной , тогда получим уравнение , где , .

Выясним, при каких значениях параметров  и  это уравнение является уравнением касательной плоскости к поверхности  в точке .

Положив в этом уравнении , получим уравнение прямой , которая при  является уравнением касательной к кривой  в точке .

Положив в этом уравнении , получим уравнение прямой

, которая при  является уравнением касательной к кривой  в точке .

Ясно, что обе эти касательные прямые принадлежат искомой касательной плоскости (рис.9). Поскольку через две пересекающиеся прямее можно провести только одну плоскость, то уравнение  является уравнением касательной плоскости к поверхности  в точке  при  и .

Рис.9.

Если поверхность задана уравнением , и функция  дифференцируема в точке , то уравнения нормали к этой поверхности в точке , где , имеет вид:

.

Полагая в уравнении касательной плоскости ,  и , можно установить, что

, то есть дифференциал функции двух переменных равен приращению аппликаты касательной плоскости.

 Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением  в точке .

Частные производные заданной функции равны , . Вычислим значения частных производных в точке : , . Значение функции в точке  . Тогда уравнение касательной плоскости имеет вид: , или . Уравнение нормали: .