В определении интеграла  предполагалось, что:

1) промежуток интегрирования  конечен.

2) функция определена и непрерывна на .

Такой определенный интеграл называется собственным (слово собственный обычно опускается).

Если нарушается хотя бы одно из условий 1) или 2), то интеграл называется несобственным определенным интегралом.

Выясним смысл этого нового понятия для двух простейших случаев.

Этот интеграл по определению равен . Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования часто называют несобственным интегралом 1 рода.

Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся.

Если  - первообразная функция для подынтегральной функции , то

Аналогичным образом определяются интегралы:  и .

.

Если , то . Следовательно,

Во многих случаях достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится. Для этого могут быть полезными следующие теоремы.

 Если для всех  выполняется неравенство  и если  сходится, то  тоже сходится, причем . Если же  расходится, то - тоже расходится.

 Исследовать сходится ли интеграл

Т.к.  и  - сходится, то данный интеграл сходится.

 Если интеграл  сходится, то сходится и интеграл . В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.

 Исследовать сходимость интеграла .

Так как  и  сходится, то данный интеграл сходится абсолютно.

 Если непрерывные функции  и при , причем (эквивалентны), то интегралы  и  одновременно сходятся или одновременно расходятся.

  сходится, так как  и  - сходится.

  расходится, так как  и  - расходится.

Пусть  непрерывна при  и имеет точку бесконечного разрыва при . Тогда несобственный интеграл

называется сходящимся или расходящимся в зависимости от того, существует или нет конечный предел.

Аналогично определяются интегралы:

 (бесконечный разрыв в точке )

и  (бесконечный разрыв в точке ).

Если , то  расходится.

Таким образом

Рассмотрим теоремы, устанавливающие признаки сходимости несобственных интегралов от разрывной функции.

 Если на отрезке  функции  и  имеют бесконечный разрыв в точке , причем  и  сходится, то  тоже сходится. Если же  расходится, то  тоже расходится.

 Если  имеет бесконеный разрыв в точке  и интеграл  сходится, то интеграл  тоже сходится и такая сходимость называется абсолютной.

 Если на отрезке  функции  и  имеют бесконечный разрыв в точке , причем  и  и , то интегралы  и  одновременно сходятся или одновременно расходятся.

  сходится, так как  и  сходится.