Если функция  тождественно равна постоянной, то производная от нее тождественно равна нулю, то есть, если , то .

Очевидно, так как для такой функции в любой точке  приращение .

Если функции  и  дифференцируемы в точке , то функции  тоже дифференцируемы в точке  и их производные вычисляются по правилу:

.

Приращение суммы (разности) функций можно представить в виде суммы (разности) приращений каждого слагаемого.

.

Поскольку функции  и  дифференцируемы в точке , то можно использовать теорему о пределе суммы и разности функций.

.

Составим приращение  для функции .

.

Прибавим и вычтем выражение  и сгруппируем слагаемые попарно.

.

Из первой скобки можно вынести общий множитель , а из второй - .

.

Выражения в скобках представляют собой приращения функций  и , поэтому

.

Тогда, используя определение производной, можно записать:

, или

.

Используя теоремы о пределе суммы и произведения функций, получим:

.

Из дифференцируемости функции  следует, что существует конечный предел.

Из дифференцируемости функции  следует, что существует конечный предел .

Так как дифференцируемая в точке  функция  непрерывна в этой точке, то по определению непрерывной функции . Следовательно,

Если функция  дифференцируема в точке , а  - конечное число, то функция  тоже дифференцируема в точке  и при этом

.

.

Составим приращение  для функции .

.

Прибавим и вычтем в числителе выражение  и сгруппируем слагаемые попарно. Получим

.

Из первой скобки можно вынести общий множитель , а из второй -  . Тогда приращение  запишется в виде:

, или

.

Используя определение, запишем выражение для производной в виде

,

затем, проведя под знаком предела тождественные преобразования и учитывая, что  не зависит от переменной , преобразуем его

.

Так как  и  не зависят от переменной , то по теоремам о пределах получим

.

Из дифференцируемости  следует, что существует конечный предел . Из дифференцируемости (и непрерывности)  следует, что существуют конечные пределы  и . Поэтому

,

или

 .

Функция  дифференцируема в точке , если существует конечный предел

.

Докажем это. Поскольку по условию существует конечный предел , причем в силу монотонности , то по теореме о пределе частного существует и конечен предел .

Из дифференцируемости функции  в точке  следует ее непрерывность в этой точке, а это означает, что при  приращение функции . Учитывая это, можно от предела при  перейти к пределу при . Тогда

.

Следовательно, существует конечная производная , которая вычисляется по правилу:

.

.

Умножим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на приращение , получим

.

Так как функция  дифференцируема точке , следовательно, она в этой точке непрерывна. Поэтому приращение функции  при . Переходя в первом сомножителе от предела при  к пределу при , получим

.

Из дифференцируемости функций  и  следует, что оба предела существуют, конечны и равны производным по переменным  и  соответственно, то есть .

Правило дифференцирования суперпозиции функций (сложной функции) следует понимать так, что если требуется вычислить производную от функции , то следует иметь в виду, что вычисляется производная суперпозиции функций , где . Тогда следует вычислить производную  и производную . Далее по правилу дифференцирования сложной функции

.