Пусть  - непрерывна на . Рассмотрим интеграл , где  (во избежание путаницы, переменная интегрирования обозначена другой буквой).

При постоянном a  этот интеграл будет представлять собой функцию верхнего предела x. Эту функцию мы обозначим через .

Если , то величина  численно равна площади криволинейной трапеции  (рис. 4). Очевидно, что площадь изменяется в зависимости от x.

Рис. 4.

 Если  - непрерывная функция и , то  дифференцируемая функция и ее производная равна

.

 Дадим x приращение , тогда

.

Найдем приращение :

.

Таким образом . Применим к этому интегралу теорему о среднем (рис.5):  .

Рис. 5

Найдем . Так как  при , то  вследствие непрерывности. Итак, .